Парадокс близнецов

Парадокс близнецов (RA050) — одна из наиболее известных попыток демонстрации противоречивости специальной теории относительности. В основу кажущегося противоречия положена относительность релятивистского замедления времени, которое должно наблюдаться в системах отсчёта, движущихся относительно наблюдателя (детальнее — см. формулировку ниже).

В виде парадокса данный эффект впервые был сформулирован Полем Ланжевеном в 1911 году, и на протяжении десятилетия "парадоксу" были даны несколько объяснений с применением разных методов теории относительности (в т.ч. самим Эйнштейном, который объяснил его на основании своей теории гравитации). Позднее, в конце 1950-х, работы Герберта Дингла породили новый всплеск внимания к "парадоксу", и в них были оспорены существующие его объяснения. Многими учёными эта критика была признана несостоятельной, и в настоящее время, несмотря на иногда появляющиеся публикации о "парадоксе" как о демонстрации противоречивости ТО, большинство учёных считает "парадокс" разрешённым.

Формулировка

Одна из возможных формулировок парадокса такова.

Из двух братьев-близнецов один отправляется в межзвёздное путешествие ("путешественник") на субсветовой скорости до звезды, расстояние до которой составляет (например) 5 световых лет, а второй остаётся ожидать на Земле ("домосед"). Полагается, что путешественник и домосед пребывают в одинаковом взаимном положении, и далее следуют противоречивые выводы, "опровергающие" ТО:

• С точки зрения оставшегося брата, поскольку путешественник двигался относительно Земли с субсветовой скоростью, то у него замедлилось время, и 10 лет, которые прошли на Земле, пролетели на борту корабля за пренебрежимое время.
• С точки зрения путешественника, поскольку Земля двигалась относительно корабля с субсветовой скоростью, то её собственное время проходило медленнее времени на борту корабля, и уж тем более время путешествия заняло меньше 10 лет по земному времени.

Источник

Хайдаров К.А. Галактическая эволюция [1] (в книге "парадокс" преподносится в качестве опровержения ТО).

Разъяснение

Неравноправность систем отсчёта

Как это и предполагается в формулировке парадокса, система отсчёта, связанная с Землёй, будет считаться инерциальной с приемлемой для данной задачи точностью. Вместе с тем, движение звездолёта, ускоряющегося до субсветовой скорости, инерциальной системой отсчёта считать нельзя. Следовательно, путешественник и домосед не оказываются в равных условиях: лишь последний пребывает в инерциальной системе отсчёта.

Согласно первому постулату теории относительности (принципу относительности), все инерциальные системы отсчёта равноправны. Это означает, что нет опытов, позволяющих установить различие между такими системами отсчёта (т.е., все опыты в таких системах будут проходить одинаково). Поскольку путешественник не пребывает в таковой (он испытывает ускорение), то к его системе отсчёта и системе отсчёта домоседа невозможно напрямую применить принцип относительности.

Кроме того, даже если отвлечься от ускорений (предположить что изменения скорости происходят мгновенно), то звездолёт всё равно оказывается в неравных условиях с Землей, т.к. он по крайней мере один раз "меняет" инерциальную систему отсчёта, когда поворачивает обратно. В то время Земля всегда находится в одной и той же ИСО. И именно эта асимметрия приводит к тому, что близнец на звездолёте оказывается моложе близнеца на Земле. Причём эта асимметрия принципиально неустранима: нельзя вернутся в точку старта не изменяя направления вектора скорости.

Подробное решение

Переформулировка

Рассмотрим ускоренное движение звездолёта, ограничиваясь в рассуждениях специальной теорией относительности.

Прежде всего, необходимо отметить два важных момента, позволяющих сократить изложение:

• Обратное движение близнеца рассматривать нет необходимости. Путешественник, остановившись у звезды, к которой держал путь, может без проблем сверить часы с оставшимся на Земле братом. Синхронизация часов двух инерциальных систем, не пребывающих во взаимном движении, легко производится.
• Нет необходимости рассматривать ускорение близнеца, стартующего с Земли, и достаточно полагать, что в момент сверки часов путешественник пролетал её с субсветовой скоростью. Возможность такого упрощения следует из того, что процессы замедления и ускорения однотипны, и введение ускорения в начале движения с Земли не приведёт к появлению новых эффектов. Синхронизацию часов можно провести в момент пролёта путешественника около Земли, положив, что в этот момент часы обоих показывали одинаковое время.

Следует отметить, что последнее допущение может привести к тому, что время полёта (с точки зрения каждого из наблюдателей) может сократиться, поскольку путешественник теперь не тратит время на ускорение. Вместе с тем, можно показать, что порядок разности показаний часов при достаточно высокой скорости полёта будет тем же.

Решение на основе СТО

Пусть $v$ — скорость звездолёта, $v\approx c$, $v<c$. Ей соответствует коэффициент (Лоренц-фактор)

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\gg 1,$

определяющий то, во сколько раз с точки зрения "недвижимого" наблюдателя сократится в направлении движения звездолёт, и то, во сколько раз медленнее будет там протекать время.

Теория относительности не налагает ограничения на ускорения, поэтому для простоты можно допустить, что замедление звездолёта происходит достаточно быстро, и его влиянием на ход часов можно пренебречь, а основное время звездолёт проводит в равномерном прямолинейном движении. Следует отметить, что ускорение само по себе не приводит к замедлению времени, но оно приводит к появлению скорости, которая затем оказывает влияние на ход часов. Так, если зведолёт на некотором пути двигался неравномерно, то для определения замедления его собственного времени (относительно времени "неподвижной" системы отсчёта), можно разбить время пути на короткие интервалы, положив, что на каждом из них движение равномерно, и сделав переход к соответствующему интегралу.

Рассмотрим движение с точки зрения домоседа. Допустим, он расценит, что звездолёт потратил $5$ лет, двигаясь в одну сторону, и по его измерениям на звездолёте пройдёт примерно $5/\gamma$ лет, что довольно немного.

Путешественник, пролетая через Землю, будет полагать, что до звезды не так далеко: всего-то каких-нибуть $5/\gamma$ световых лет, поскольку пространство вокруг него сжалось вдоль направления его движения (Земля в его системе отсчёта также не будет шарообразной, хотя и она будет казаться таковой визуально). Спустя примерно $5/\gamma$ лет он делает остановку, и сверяет часы. Но он также обнаружит, что его часы отстали.

Дело в том, что если на всём пути звездолёта разместить синхронизированные часы с Землёй, то эти часы уже не будут казаться синхронизированными с точки зрения путешественника: здесь сказывается относительность одновременности, проявляющееся в теории относительности. Хотя каждые отдельно взятые часы с точки зрения путешественника будут идти медленно, но показывать они будут разное время, и это время будет опережать собственное время путешественника примерно в $\gamma$ раз. Такое соотношение будет примерно сохраняться до конца полёта.

Теперь же, если звездолёт также быстро (почти мгновенно) разгонится до субсветовой скорости обратно к Земле, то на обратный путь он потратит по собственным часам всё те же $5/\gamma$ лет, а для домоседа пройдёт всё те же $5$ лет.

При этом, при смене вектора скорости, все неподвижные часы на пути следования путешественника сменят знак расхождения с подвижными, т.к. он перешёл в другую (третью) ИСО, часы которой синхронизированы по-другому, чем "предыдущие собственные" часы. Если непосредственно перед разворотом чем ближе к Земле, тем сильнее было опережение собственных часов в ИСО звездолёта (можно представить, что звездолёт тащил их за собой на очень длинной на верёвке) перед неподвижными часами, то сразу после разворота наоборот - чем ближе к Земле, тем больше отставание собственных часов новой, "возвратной" ИСО относительно времени Земли. Т.е., образно говоря, в момент разворота для путешественника Земля "проматывается" в будущее (чем резче ускорение - тем резче "проматывается"). Причём "проматываться" будет именно Земля, а локально, на той звезде где находится звездолёт во время разворота время в неподвижной системе будет идти как обычно ( т.е. замедленно в текущее $\gamma$ раз). Если смена скорости происходит мгновенно, то и текущее локальное "неподвижное" время не изменится, а далёкая Земля мгновенно "постареет". Если до разворота для путешественника "землянин" был моложе его (по собственным часам ИСО путешественника), то сразу после разворота стал старше (по часам "новой" ИСО). При этом, как упоминалось выше, вернуться на Землю, не "состарив" таким образом своего брата путешественник не может: где-нибудь, как-нибудь, но развернуться надо.

При этом надо отметить, что свет, т.е. изображение Земли, которое путешественник видит в телескоп, так "прыгать" не будет, т.к. свет существует локально, а локальные окрестности в момент разворота меняться не будут.

Итого в момент, когда звездолёт будет пролетать обратно мимо Земли для домоседа проходит суммарно 10 лет, а для космонавта $10/\gamma$ лет и 10 лет для "землянина". Суммарная разница в возрасте составит $10(1-1/\gamma )$ лет. И эта разница будет объективна и инвариантна: не будет не зависит от выбора системы отсчёта в которой мы наблюдаем за экспериментом.

Т.е. нет никакого противоречия, никакого парадокса в логическом смысле. А есть наблюдаемый физический эффект, который неожидан для обывателя.

Вариации

У парадокса близнецов есть множество вариаций, которые пытаются как-то обойти особенности "классического парадокса". В частности:

1. Для того что бы избавится от асимметрии в парадокс вводят третьего близнеца, который на втором звездолёте движется противоположно первому звездолёту. Оба движутся относительно друг друга. Оба должны относительно друг друга быть моложе. Но это не так. Оба летящих близнеца окажутся одинакового возраста и младше того, кто остался на Земле. Дело том, что одновременность относительна! И если для близнеца оставшегося на Земле поворот обоих звёздных кораблей будет одновременнен, то для каждого из путешественников нет. И в момент разворота одного путешественника другой всё ещё будет лететь и постареет, как это было показано выше. В результате всё накопленное "омоложение" будет "скомпенсировано" этим "сдвигом времени" во время поворота.
2. Вводят для симметрии ещё одну "Землю" и пускают близнецов навстречу друг-другу. Т.к. разница в возрасте обуславливается поворотом, то довольно очевидно, что летящие близнецы окажутся моложе сидящих на своих планетах и, при полной симметрии, одинакового возраста друг с другом.
3. Вводят ещё близнецов летящих по разным направлениям с разной скоростью. Но независимо от этого все решается как и в предыдущем случае: кто летел с большей скоростью, кто позже развернулся, тот и оказался моложе. А самый старый тот, кто не выполнял никаких разворотов и сидел на планете.
4. Близнеца "запускают" по криволинейным траекториям (например, по большому кругу). Это тоже решается в рамках СТО (хотя и значительно сложнее). Общий принцип тот же: движение по кругу - по сути просто очень затяжной разворот. И Земля просто "стареет" плавнее и медленнее. А итог тот же - летящий близнец стареет медленнее.

Логические ошибки

• Подавление данных (системы отсчёта ошибочно полагаются равноправными).

Внешние ссылки

• w:Парадокс близнецов
• Парадокс близнецов — synset.com.
• Ускоренное движение — synset.com.
• Толкование и объяснение парадокса с помощью "поворота временной оси" (англ.).

Связанные утверждения

Смежные утверждения

• RA060. Парадокс диска
• RA070. Парадокс Белла