Парадокс диска

Парадокс диска (RA060) — пример, иллюстрирующий зависимость отношения длины окружности к её радиусу от характера движения объекта.

Формулировка

Некоторый диск, который удобно представлять в виде велосипедного колеса, разгоняют так, чтобы скорость обода была сравнима со скоростью света в вакууме $c$ . Отсюда следуют положения:

Длина спиц остаётся неизменной, поскольку направление движения перпендикулярно спицам.
Длина обода сокращается согласно преобразованиям Лоренца (лоренцево сокращение длины).

Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру меняется, составляя меньше, чем $\pi$ .

Источник

добавить источник

Разъяснение

Предварительные замечания: о применимости абстракций в ТО

В рамках ньютоновской физики мы можем рассматривать модель с абсолютно жёстким диском, скорость которого меняется любым образом (он ускоряется, замедляется или вечно вращается и т.д.), при этом никаких противоречий не возникает. В рамках же теории относительности у нас есть только два варианта:

Мы можем рассматривать абстракцию абсолютно жёсткого диска, но тогда мы должны рассматривать его вечно вращающимся, причём равномерно. Мы не можем рассмотреть задачу, в которой он сначала покоится, а потом разгоняется.
Или мы можем рассматривать задачу, в которой диск сначала покоится, а потом его разгоняют, но тогда мы не можем считать его абсолютно жёстким и должны учитывать, что реальные тела всегда имеют некую деформируемость.

Разумеется, бесконечно и равномерно вращающийся диск, который не может ускоряться и замедляться, является абстракцией, но точно такой же абстракцией является и абсолютно жёсткий диск. В рамках теории относительности, если мы отказываемся от первой абстракции, то должны отказаться и от второй. Причина этого заключается в том, что абстракция абсолютно жёсткого тела противоречит постулату теории относительности о том, что никакое взаимодействие не может распространяться быстрее скорости света. Если вы толкнёте абсолютно жёсткое тело с одной стороны, то его противоположная сторона должна моментально прийти в движение. Согласно же ТО, дальний край тела должен "почувствовать" ваш толчок только спустя некоторое время, необходимое сигналу, чтобы дойти до него. Это означает, что в то время как ближний край уже начал двигаться, дальний край ещё некоторое время будет ещё пребывать в состоянии покоя, а значит, тело должно немного сжаться, т.е. деформироваться. И само возмущение от ближнего края к дальнему должно распространиться в виде волны деформации. Абсолютно жёсткие тела в рамках ТО можно рассматривать только в случаях, не включающих изменение состояния движения.

Данный момент не является недостатком теории относительности. Нельзя требовать от теории, чтобы она позволяла нм работать с любыми придуманными нами абстракциями, какими мы захотим. Сказать "давайте рассмотрим абстракцию, в которой абсолютно жёсткое тело ускоряется" равносильно тому, чтобы сказать "давайте представим себе абстракцию, при которой сигнал может распространяться бесконечно быстро". Очевидно, что вторая абстракция в любом случае будет противоречить ТО и приводить к парадоксам. Однако это не является недостатком ТО, поскольку мы просто ввели абстракцию, которая заведомо противоречит её постулатам. То же самое касается и первой абстракции.

Теперь рассмотрим оба эти случая.

Вечно вращающийся абсолютно жёсткий диск

Если измерения длины обода и радиуса диска/колеса будет проводить "неподвижный" наблюдатель, не вращающийся вместе с колесом, то он получит обычное отношение длины окружности к диаметру колеса, равное $\pi$ , поскольку он находится в обычном плоском евклидовом пространстве. Если же этот внешний наблюдатель будет наблюдать за тем, как другой наблюдатель, вращающийся вместе с колесом, измеряет длину обода, прикладывая к нему линейку, то внешний наблюдатель заметит, что линейка вращающегося наблюдателя испытала лоренцево сокращение длины по сравнению с линейкой внешнего наблюдателя, и значит, вращающийся вместе с колесом наблюдатель получит большее значение длины обода колеса, чем внешний (при том же радиусе), потому что ему придётся приложить свою линейку к ободу большее количество раз.

Другими словами, лоренцево сокращение длины означает, что длина обода для неподвижного наблюдателя (относительно которого обод вращается) действительно будет меньше, чем для наблюдателя, вращающегося вместе с колесом (для которого обод неподвижен). Но в данном случае это происходит потому, что длина обода увеличена для "внутреннего" наблюдателя, вращающегося вместе с колесом, по сравнению с неподвижным (внешним) наблюдателем. Именно для вращающегося наблюдателя отношение длины окружности к диаметру изменится, и оно будет составлять больше $\pi$ , а не меньше.

Причина этого заключается в том, что вращающееся движение колеса является ускоренным. Согласно же общей теории относительности, ускоренное движение эквивалентно искривлению пространства. Таким образом, вращающийся вместе с колесом наблюдатель находится в искривлённом, неевклидовом пространстве, и поэтому в данном случае соотношение между длинной окружности и её диаметром, выведенное для плоского евклидова пространства, может не выполняться. (В случае равномерно вращающейся системы отсчёта отдельно искривляется трёхмерное пространство и отдельно искривляется время, но четырёхмерное пространство-время в целом остаётся плоским. В этом случае трёхмерное пространство представляет собой искривлённое трёхмерное сечение в целом плоского четырёхмерного пространства-времени. Гравитация же в рамках ОТО моделируется при помощи искривления не только пространства, но всего пространства-времени.)

Разгоняющийся деформируемый диск

Если же мы хотим рассмотреть именно задачу о диске, для которого неподвижный наблюдатель сначала проводит измерения в состоянии покоя, а потом разгоняет диск до скорости, близкой к скорости света, и повторяет измерения, то, как было сказано, мы должны учитывать деформации диска. Очевидно, что в обоих случаях внешний наблюдатель должен получить отношение длины обода к диаметру, равное $\pi$ , т.к. этот наблюдатель не находится в искривлённом пространстве. Но при этом длина обода должна для него испытать лоренцево сокращение. Разгадка парадокса кроется в том, что на вращающееся колесо должна также действовать центробежная сила, которая будет растягивать его радиус и вместе с ним увеличивать длину обода по сравнению с тем состоянием, когда колесо не вращалось. Комбинация этих двух эффектов (деформации колеса и лоренцева сокращения) приведёт к тому, что отношение длины обода к диаметру для внешнего наблюдателя не изменится.

Литература

Stachel, John. Einstein and the Rigidly Rotating Disk. // General Relativity and Gravitation, ed. A. Held. New York: Plenum, 1980, p. 1.

Логические ошибки

подмена понятий (плоского и искривлённого пространства)

Связанные утверждения

Смежные утверждения

RA050. Парадокс близнецов
RA070. Парадокс Белла